miércoles, 6 de junio de 2012

Número Pi






       Fórmulas que contienen el número PI (π)

En geometría

§  Longitud de la circunferencia de radio r: C = 2 π r
         Áreas de secciones cónicas:
§  Área del círculo de radio r: A = π r²
§  Área interior de la elipse con semiejes a y b: A = π ab
         Áreas de cuerpos de revolución:
§  Área del cilindro: 2 π r (r+h)
§  Área del cono: π r² + π r g
§  Área de la esfera: 4 π r²
Volúmenes de cuerpos de revolución:
§  Volumen de la esfera de radio r: V = (4/3) π r³
§  Volumen de un cilindro recto de radio r y altura h: V = π r² h
§  Volumen de un cono recto de radio r y altura h: V = π r² h / 3
Ecuaciones expresadas en radianes:
§  Ángulos: 180 grados son equivalentes a π radianes.



                 Los primeros 1.000 decimales de Pi.
3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679821480865132823066470938446095505822317253594081284811174502841027019385211055596446229489549303819644288109756659334461284756482337867831652712019091456485669234603486104543266482133936072602491412737245870066063155881748815209209628292540917153643678925903600113305305488204665213841469519415116094330572703657595919530921861173819326117931051185480744623799627495673518857527248912279381830119491298336733624406566430860213949463952247371907021798609437027705392171762931767523846748184676694051320005681271452635608277857713427577896091736371787214684409012249534301465495853710507922796892589235420199561121290219608640344181598136297747713099605187072113499999983729780499510597317328160963185950244594553469083026425223082533446850352619311881710100031378387528865875332083814206171776691473035982534904287554687311595628638823537875937519577818577805321712268066130019278766111959092164201989


sábado, 12 de mayo de 2012

GEOMETRÍA PARA TODOS



GEOMETRÍA SEGUNDO CICLO BÁSICO

a) Rectas, segmentos y Semirrecta.
b) Clasificación de ángulos.
c) Tri, Cuadri, Penta, hexa, hepta, octa.
d) Clasificación de triángulos Según lados y según ángulos.
e) Cuadriláteros: PARALELOGRAMOS, TRAPECIOS y TRAPEZOIDES.
f) Elementos de polígonos.
Circunferencias.
EVALUACIÓN

















Clasificación de las figuras y cuerpos geométricos
Figuras geométricas
Polígonos
Nombre según los lados
3-Triángulo
4-Cuadrilátero
5-Pentágono
6-Hexágono
7-Heptágono
8-Octógono
9-Eneágono
10-Decágono
11-Endecágono
12-Dodecágono
13-Tridecágono
14-Tetradecágono
15-Pentadecágono
De más lados se nombran como polígonos de n lados
Se denominan polígonos regulares si tienen todos los ángulos y lados iguales.
Triángulos
Según los
lados
Equilátero
Isósceles
Escaleno
Según los
ángulos
Acutángulo
Rectángulo
Obtusángulo
Cuadriláteros
Paralelogramo
Cuadrado
Rectángulo
Rombo
Romboide
Trapecio
isósceles
escaleno
rectángulo
Trapezoide
Cónicas
Circunferencia
Parábola
Elipse
Hipérbola








Cuerpos Geométricos

Poliedros
Nombre según las caras
4-Tetraedro
5-Pentaedro
6-Hexaedro
7-Heptaedro
8-Octaedro
9-Eneadero
10-Decaedro
11-Endecaedro
12-Dodecaedro
13-Tridecaedro
14-Tetradecaedro
15-Pentadecaedro

De más lados se nombran como poliedro de n lados
Se denominan poliedros regulares si tienen todos los ángulos y lados iguales. Poliedros
Según las cualidades de las estructuras que los componen
Prismas
Paralelepípedos
Pirámides
Poliedro regulares
Tetraedro regular
Hexaedro regular
Cubo
Octaedro regular
Dodecaedro regular
Icosaedro regular
Cuerpos redondos
Cilindro
Cono
Esfera

Elementos del triángulo

El triángulo es el polígono más simple y también el más fundamental, ya que cualquier polígono puede
resolverse en triángulos; por ejemplo, trazando todas las diagonales a partir de un vértice, o,
más en general, uniendo todos los vértices con un mismo punto interior al polígono.

Un triángulo tiene elementos primarios y elementos secundarios.
Los elementos primarios corresponden a:   los vértices, lados, ángulos interiores y ángulos exteriores.
Los elementos secundarios corresponden a:  la altura, bisectriz, simetral, transversal de gravedad y mediana.

Elementos primarios de un triángulo
Vértices:  Son los puntos de origen de los segmentos.    Se nombran con tetras mayúsculas: A, B, C ... Z.

Lados:    Son los segmentos de la poligonal. Se designan por las dos letras
              de sus extremos coronadas por un pequeño trazo:

AB, BC, CA, XY, YZ   o por una letra minúscula (a, b, c) que corresponde a la letra que nombra el vértice opuesto (A, B, C).

Ángulos interiores:
Son aquellos formados por cada par de lados consecutivos del triángulo. Se denominan por las tres letras mayúsculas de los vértices o por una letra griega ubicada entre los lados del ángulo.
En los problemas se usan las últimas letras del alfabeto en minúscula para designar incógnitas.

Ángulos exteriores:
Son los ángulos formados por un lado del triángulo y la prolongación de otro hacia la región exterior. Se nombran generalmente por la letra del ángulo interior adyacente con un subíndice.

Elementos secundarios de un triángulo
Las líneas notables del triángulo o sus elementos secundarios son:
alturas (h)  bisectrices (b)  simetrales (s)   transversales de gravedad (t) medianas

Alturas:
Son segmentos perpendiculares (segmentos que forman ángulos de 90º) a un lado o a su prolongación
desde el vértice opuesto. La altura se designa con la letra h y un subíndice que señala el lado del
cual se levanta.  Un triángulo tiene tres alturas, una por cada lado (ha, hb, hc).
El punto O donde concurren las tres alturas se llama Ortocentro (O).
El lado y su altura forman un ángulo de 90º.

Bisectrices
Es la recta que  dimidia un ángulo; es decir, es la recta que divide un ángulo en su mitad.
 Un triángulo tiene 3 bisectrices, uno por cada ángulo y se designan normalmente por la letra b 
y un subíndice que señala el respectivo ángulo interior.
El punto O donde concurren las tres bisectrices se llama incentro. El incentro corresponde al
centro de una circunferencia inscrita en el triángulo.

Simetrales o Mediatrices
Corresponden a rectas perpendiculares a cada uno de los lados del triángulo en su punto medio.
Las tres simetrales se cortan en un punto llamado (O) circuncentro. La circunferencia pasa por
los tres vértices.
Siempre debe tenerse en cuenta que:
Si existe una simetral, existe un ángulo recto y un punto medio.
La simetral no siempre pasa por el vértice opuesto.
En todo triángulo se puede circunscribir una circunferencia cuyo centro es el circuncentro.



Transversales de gravedad
Es el segmento trazado desde un vértice hasta el punto medio del lado opuesto. Todo triángulo tiene
tres transversales de gravedad, una por cada lado y se designan normalmente con la letra t y un
subíndice que señala el lado (ta,  tb, tc ).
El punto donde se intersectan las tres simetrales se llama baricentro y se representa con la letra G.

Medianas
Son los segmentos que unen directamente los puntos medios de dos lados del triángulo, de dos en dos.
La mediana se designa con la letra m y un subíndice que indica el lado sobre el cual se proyecta.
La mediana tiene una longitud igual a la mitad del lado paralelo.
FD  =  ½ AC;      DE  =  ½ AB;     EF  =  ½ CB
Al trazar las tres medianas de un triángulo, éste queda dividido en cuatro triángulos congruentes.


Elementos de la circunferencia y del círculo


circunferencia015

Circunferencia es el conjunto de todos los puntos del plano que equidistan de un mismo punto llamado centro de la circunferencia. El punto centro no pertenece a la circunferencia. La circunferencia  se nombra con la letra  del centro y  un radio.
Círculo es la figura plana formada por una circunferencia más toda su región o área interior
Ejemplos prácticos de una circunferencia: Aro, anillo, hula-hula, borde de vaso, la orilla de un plato,  etc.
Perímetro de la circunferencia:      2 p · r                p · d  
Elementos de la circunferencia
Rectas en la circunferencia
circunferencia016
Radio: Es un segmento que une el centro de la circunferencia  con cualquier punto de ella.
El radio se nombra con la letra “r” o bien con sus puntos extremos.
La medida del radio es constante.

Cuerda: es el segmento que une dos puntos de la circunferencia. Las cuerdas tienen distintas medidas.
circunferencia017

circunferencia018
Diámetro: Es la cuerda que pasa por el centro de la circunferencia.
El diámetro es la cuerda de mayor medida.
El diámetro se nombra con la letra “d”.
El diámetro siempre es el doble  del radio: d = 2r       r = d/2 .

Tangente: es la recta que intersecta en un solo punto a la circunferencia.circunferencia019

circunferencia020Secante: es la recta que intersecta en dos puntos a la circunferencia.

Arco: es una parte de la circunferencia comprendida entre dos puntos de ella.circunferencia021
Ángulos en una circunferencia
Ángulo del centro: Es el ángulo cuyo vértice es el centro de la circunferencia y sus lados son dos radios de ella.
Figura
Características
Medida
circunferencia022
Vértice en el centro de la circunferencia
Lados que contienen radios de ella
m (< AOB) = m (arco AB)
Ejemplo:
circunferencia011(Debe leerse: arco SR es igual a un tercio de la circunferencia. Calcular el ángulo X))
Por definición del Teorema del ángulo del centro la medida del arco SR es igual a la medida del ángulo del centro (x). Como la circunferencia en el sistema sexagesimal tiene 360º significa que el arco SR mide 1/3 de 360º, esto es dividir 360 en 3 partes y tomar 1 sola.
                      360º  :  3  =  120º              < SOR =  120º
Ángulo Inscrito: Es el ángulo cuyo vértice está sobre la circunferencia y sus lados son cuerdas de ella. Para todo ángulo inscrito, existe un ángulo del centro que subtiende el mismo arco. El ángulo inscrito es igual a la mitad del ángulo del centro que subtiende el mismo arco.
Figura
Características
Medida
circunferencia023
< ABC inscrito que subtiende arco AC
< AOC del centro que subtiende arco AC
Vértice en la circunferencia.
Los lados son cuerdas de ella.
<  ABC subtiende arco AC.
El centro de la circunferencia está en el interior del ángulo.
m ( <ABC) = ½ m (<AOC)
(Debe leerse: medida del ángulo (ABC) es igual a la mitad del ángulo (AOC)
   Ejemplo:
cinrcunferencia013
Si ángulo y es igual a 54 grados
Entonces ¿cuánto mide el ángulo x ?
El ángulo “y” es un ángulo del centro; el ángulo “x” es un ángulo inscrito que subtiende un arco común con el ángulo del centro (AB), por lo tanto, se debe aplicar el Teorema del ángulo inscrito.
Por Teorema:  x  =  1/2  y   simbolo04B    x  = 1/2   ·  54  =  54/2  =  27º
Caso Especial:                       
circunferencia025
Si un ángulo inscrito subtiende una semicircunferencia, entonces es recto.
α = 180º                           β  =  90º
CIRCULO O REGION CIRCULAR:  Es todo el espacio interior encerrado por una circunferencia..
REPRESENTACIONES MATERIALES DEL CIRCULO: Disco, plato, fondo de vaso, tapa de tarro, CD, etc
AREA DEL CIRCULO:       p · r2
Elementos del círculo
circunferencia026
Segmento circular: es cada una de las partes en que se divide un círculo cuando se traza una cuerda (A - B). Si la cuerda es un diámetro, cada parte será un semicírculo.
circunferencia027
Sector circular: es la parte del círculo limitada por dos radios y un arco.
circunferencia028
Corona circular: es la porción del plano comprendida entre dos circunferencias concéntricas.